在做题的时候，我们经常会遇到需要求这么一个极限 lim ⁡ x → 0 + x α ( ln ⁡ x ) β ( α , β > 0 ) \lim_{x \to 0^+} x^\alpha (\ln{x})^\beta \qquad (\alpha,\beta > 0) x→0+lim​xα(lnx)β(α,β>0) 虽然很多老师和教辅资料直接给出了结论，但是并没有给出推导，只是用指数比对数增长的快这样含糊一句话盖过去了，下面我们来给出结论和推导。

lim ⁡ x → 0 + x α ( ln ⁡ x ) β = 0 , 其 中 α , β > 0 \lim_{x \to 0^+} x^\alpha (\ln{x})^\beta =0 ,其中 \alpha ,\beta > 0 x→0+lim​xα(lnx)β=0,其中α,β>0

lim ⁡ x → 0 + ( ln ⁡ x ) β x − α = 洛必达 lim ⁡ x → 0 + β ( ln ⁡ x ) β − 1 ⋅ 1 x − α x − α − 1 = lim ⁡ x → 0 + β ( ln ⁡ x ) β − 1 − α x − α = ⋯ = 0 \underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\left( \ln x \right) ^{\beta}}{x^{-\alpha}}\xlongequal{\text{洛必达}}\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\beta \left( \ln x \right) ^{\beta -1}\cdot \frac{1}{x}}{-\alpha x^{-\alpha -1}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\beta \left( \ln x \right) ^{\beta -1}}{-\alpha x^{-\alpha}}=\cdots =0 x→0+lim​x−α(lnx)β​洛必达 x→0+lim​−αx−α−1β(lnx)β−1⋅x1​​=x→0+lim​−αx−αβ(lnx)β−1​=⋯=0 洛一次 l n x lnx lnx的指数就减少1，一直洛到指数 ≤ 0 \le0 ≤0

下面来举些例子说明： 当 α = 1 , β = 2 时 \alpha=1,\beta =2时 α=1,β=2时 lim ⁡ x → 0 + ( ln ⁡ x ) 2 x − 1 = 洛必达 lim ⁡ x → 0 + 2 ln ⁡ x ⋅ 1 x − x − 2 = lim ⁡ x → 0 + 2 ln ⁡ x − x − 1 = lim ⁡ x → 0 + 2 ⋅ 1 x x − 2 = lim ⁡ x → 0 + 2 x = 0 \underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\left( \ln x \right) ^2}{x^{-1}}\xlongequal{\text{洛必达}}\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{2\ln x\cdot \frac{1}{x}}{-x^{-2}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{2\ln x}{-x^{-1}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{2\cdot \frac{1}{x}}{x^{-2}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}2x=0 x→0+lim​x−1(lnx)2​洛必达 x→0+lim​−x−22lnx⋅x1​​=x→0+lim​−x−12lnx​=x→0+lim​x−22⋅x1​​=x→0+lim​2x=0 当 α = 2 , β = 2 时 \alpha=2,\beta =2时 α=2,β=2时 lim ⁡ x → 0 + ( ln ⁡ x ) 2 x − 2 = 洛必达 lim ⁡ x → 0 + 2 ln ⁡ x ⋅ 1 x − 2 x − 3 = lim ⁡ x → 0 + ln ⁡ x − x − 2 = lim ⁡ x → 0 + 1 x 2 x − 3 = lim ⁡ x → 0 + 1 2 x 2 = 0 \underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\left( \ln x \right) ^2}{x^{-2}}\xlongequal{\text{洛必达}}\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{2\ln x\cdot \frac{1}{x}}{-2x^{-3}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\ln x}{-x^{-2}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\frac{1}{x}}{2x^{-3}}=\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{1}{2}x^2=0 x→0+lim​x−2(lnx)2​洛必达 x→0+lim​−2x−32lnx⋅x1​​=x→0+lim​−x−2lnx​=x→0+lim​2x−3x1​​=x→0+lim​21​x2=0